二重振り子シミュレーターほんの小さなきっかけから育つカオスを見よう。

はい。すべてのシーン、設定、スナップショット、動画の書き出しが無料で、アカウントも登録もウォーターマークも不要です。完全にブラウザ内で動作します。

剛体で質量のない棒につながれた2つの質点の厳密な運動方程式を、ラグランジュ形式から導き、4次ルンゲ=クッタ法と小さな固定の時間ステップで解きます。減衰がなければ、数分間の運動で全エネルギーが100万分の1より良い精度で一定に保たれ、小さな揺れでは教科書の周期と一致します。

扇の各振り子は、隣の振り子からごく小さな角度だけずれて始まります。カオス的な領域では、こうした差がほぼ指数関数的に大きくなるので、数回の揺れのあとには、振り子がまったく異なる経路をたどります。小さな角度から扇を始めれば、そろったままです。

2つの振り子がほぼ同じ状態で始まり、既定では10万分の1度だけ離れています。グラフは、両者の差が対数スケールで上がっていく様子を示し、表示は、2つの外側のおもりが初めて目に見えて離れる時刻を教えてくれます。

すべての点が開始位置で、横軸が1本目の腕の角度、縦軸が2本目の腕の角度を表し、静止状態から放されます。色は、どちらかの腕が上を越えて回転するまでにかかる時間を示します:明るいほど速く、濃い青は遅く、黒はそもそも回転するだけのエネルギーがない場所です。マップは背景で粗い状態から細かい状態へと描き込まれ、クリックするとその開始位置が読み込まれます。

位相図は、振り子の動きに合わせて、腕の角度を角速度に対して、または2つの角度を互いに対して描きます。ポアンカレ断面は、1本目の腕が前向きに真下を通るたびに点を打ちます:規則的な動きなら少数の点や閉じた曲線が残り、カオスなら点が広い範囲に散らばります。

はい。単振り子のシーンを選ぶか、「2本目の腕」のチェックを外します。小さな角度ではおなじみの周期2π√(L/g)で揺れ、大きな角度では周期が長くなる様子を観察できます。

はい。「書き出し」を開き、9:16、1:1、16:9、フルの1080pまたはクイックプレビュー、30または60 fps、長さを選んで、MP4(またはWebM)を保存します。動きは最初からフレームごとに再生し直されるので、どのパソコンでも完全になめらかなクリップになり、スローモーションの設定も反映されます。

重力が強いほど、すべてが速く揺れます。月、火星、木星を試してみましょう。減衰は、空気抵抗や摩擦のようにエネルギーをゆっくり奪うので、カオスな揺れも落ち着いて規則的になります。